Aritmética Binária

• Conteúdo: Complemento de um/ Complemento de dois/ Ponto fixo/ Soma binária/

Podemos utilizar números binários para codificar qualquer tipo de dado, como vimos na teoria de dados digitais. Mas ainda não sabemos como utilizar números binários para representar: números inteiros que possam ser negativos e números reais fracionados (exemplo: -15; 1,032; -0,0001; 10001231231).

Essa teoria irá tratar desses temas e também da parte referente a operações com números binários (soma e subtração).

Soma binária

A soma binária é realizada de maneira similar a soma de decimais, só que precisamos reforçar que 1+1 em binário (esse + é de soma não de OR), resulta em 10, o 1 do estouro e que passa para a próxima casa é chamado de carry. Esse carry é similar ao vai um em uma soma decimal, por exemplo: quando somamos em decimal 9 + 3 o resultado é 12 (10 + 2).

• 0xAA + 0x55 = 0xFF

                          : Carry
     1 0 1 0 1 0 1 0      : A 
     0 1 0 1 0 1 0 1 +    : B
     ---------------  
     1 1 1 1 1 1 1 1      : Resultado (A+B)

• 0xAA + 0x55 = 0xFF

                          : Carry
     1 0 1 0 1 0 1 0      : A 
     0 1 0 1 0 1 0 1 +    : B
     ---------------  
     1 1 1 1 1 1 1 1      : Resultado (A+B)

• 0x2B + 0x57 = 0xFF

     1 1 1 1 1 1 1        : Carry
     0 0 1 0 1 0 1 1      : A 
     0 1 0 1 0 1 1 1 +    : B
     ---------------  
     1 0 0 0 0 0 1 0      : Resultado (A+B)

Precisamos entender que cada bit deve ser armazenado em hardware! Um sistema com 8 bits não consegue armazenar 9 bits, e se houver um estouro no último bit essa informação será perdida.

• 0x80 + 0x80 = 0x100, mas resulta em 0x00 por conta do somador ser 8 bits:

carry é perdido
   x
    \
     1 0 0 0 0 0 0 0 
     1 0 0 0 0 0 0 0 +
     ---------------
     0 0 0 0 0 0 0 0

• 0x03 + 0x81 = 0x84

               1 1        : carry (vai um)
                  \       
     0 0 0 0 0 0 1 1 
     1 0 0 0 0 0 0 1 +
     ---------------
     1 0 0 0 0 1 0 0    

Complemento de um

No complemento de um, utilizamos a casa/bit mais significativa de um vetor de bits para representar se o número é positivo (0) ou negativo (1). Exemplo (utilizando 8 bits):

• Valor +1 em binário, com complemento de 1

    00000001
    ^
    | indica que o valor é positivo

• Valor -1 em binário, com complemento de 1

    10000001 
    ^
    | indica que o valor é negativo

O problema do complemento de 1 é que:

• Possuímos duas representações para o valor 0: 00000000 e 10000000

• Operações de soma não funcionam corretamente entre os dois números codificados em complemento de um.

• Exemplo: 1 - 1 = -2 e não 0

                 1        : carry (vai um)
                  \       
     0 0 0 0 0 0 0 1      : +1
     1 0 0 0 0 0 0 1 +    : -1
     ---------------
     1 0 0 0 0 0 1 0      : -2 e não 0 

Complemento de 2

O complemento de dois é uma outra maneira de representar números sinalizados com bits, essa técnica possui alguams vantagens:

• Uma única representação para o valor 0: 0000
• A operação de soma/ subtração funciona corretamente!
• O bit mais significativo indica se a palavra é positiva (0) ou negativa (1).

Para obter um número positivo ↔ negativo nessa notação é necessário seguir os seguintes passos:

1. Escreva o valor em binário (positivo)
2. Inverter todos os bits (not bit a bit) da palavra original

3. Somar o valor 1 a palavra invertida.

4. Exemplo: -3 = 11111101

     0 0 0 0 0 0 1 1      : 3
    -----------------------
     1 1 1 1 1 1 0 0      : not bit a bit da palavra original
     0 0 0 0     + 1      : Soma um a palavra invertida
    -----------------------
     1 1 1 1 1 1 0 1  <-- -3 em complemento de 2       

• Exemplo: -5 = 111111011

    0 0 0 0 0 1 0 1      : 5
    -----------------------
    1 1 1 1 1 0 1 0      : not bit a bit da palavra original
    0 0 0 0 0 0 0 1 +    : Soma um a palavra invertida
    -----------------------
    1 1 1 1 1 0 1 1  <-- -5 em complemento de 2

• Exemplo (com 4 bits para simplificar): -9 (não funciona porque não cabe)

(exemplo com 4 bits!)

     1 0 0 1      : 9
     0 1 1 0      : not bit a bit da palavra original
         + 1      : Soma um a palavra invertida
     0 1 1 1    <-- 7 !! (não funcionou)
     ^
     | não funcionou =(

O exemplo anterior não funciona pois faltam bits para representar o valor -9, para isso seria necessário 5 bits e não 4 como no exemplo.

Multiplicação/ Divisão por múltiplo de 2

Em binário, para multiplicar uma palavra (positiva) por 2 basta rotacionar todos os bits uma casa para esquerda. Para dividir por 2 basta rotacionar todos os bits uma vez para direita (sempre colocando 0 no bit que entra e desaparecendo com o bit que sai).

Exemplos a seguir:

• 2 x 1 (00000001) = 2 00000010

      <-- 1x 
    00000001 => 00000010

• 2 x 4 (00000100) = 8 00001000

      <-- 1x 
    00000100 => 00001000

• 9 (00001001) / 2 = 4 00000100

1x --> 
    00001001 => 00000100

Essa técnica de rotacionar vale para múltiplos de 2, se deseja multiplicar/dividir por M, onde M é um múltiplo de 2 (M=Nx2), é necessário rotacionar o vetor de bits N vezes:

• exemplo: 4 x 1 (00000001) = 00000100

      <-- 2x 
    00000001 => 00000100

Multiplicação Binária (unsigned)

A multiplicação em binário segue o mesmo princípio que a multiplicação em decimal: vamos multiplicar cada bit do multiplicando com o multiplicador e somar os resultados.

Vamos entender com um exemplo:

Exemplo

Vamos multiplicar 101 (5 em decimal) por 11 (3 em decimal).

   101  (multiplicando)
 x  11  (multiplicador)
 _____
   101  (101 multiplicado por 1 - a posição mais à direita do multiplicador)
  101   (101 multiplicado por 1 - a segunda posição do multiplicador, deslocado para a esquerda)
 ______
  1111  (resultado)

Então, em binário, 101 multiplicado por 11 é igual a 1111.

Passos

1. Comece pela posição mais à direita (bit menos significativo) do multiplicador.
2. Multiplique o multiplicando pelo bit do multiplicador.
3. Anote o resultado.
4. Desloque o multiplicando uma posição para a esquerda.
5. Vá para o próximo bit à esquerda do multiplicador e repita os passos 2 a 4.
6. Some todos os resultados intermediários.

Observações:

• Multiplicar por 0 sempre resulta em 0.
• Multiplicar por 1 é o mesmo que o próprio número.

Ao realizar multiplicações maiores, a quantidade de etapas intermediárias aumentará, mas o princípio básico é o mesmo. E, assim como na multiplicação decimal, a prática leva à perfeição. Uma vez que você entende o processo básico, multiplicar números binários torna-se tão fácil quanto multiplicar números decimais.

     1001   (multiplicando)
  x 10111   (multiplicador)
 ________
     1001
    1001    
+  1001     
  0000      
 1001       
 _________
 11001111   (resultado)

Multiplicação Binária (com sinal)

Informacões do site do IF de Santa Catarina

A técnica é muito similar, só que temos que considerar a extensão dos bits quando ele é negativo:

Ponto fixo

Ponto fixo é uma das técnicas de representação de números fracionados em binário, nessa notação fixasse quantos bits serão utilizados para a parte inteira e quantos serão utilizados para a fração. É aplicado o mesmo conceito dos números decimais, as casas a direita do ponto possuem peso na ordem 2^-n.

Vamos pegar como exemplo o valor 26.5, e assumindo que estamos trabalhando com uma palavra de 8 bits onde o ponto está localizado no bit 3: XXXXX.YYY.

Nesse caso, cada casa binária possui o peso a seguir:

Para construirmos o valor 26.5 basta selecionarmos os bits que somados dão esse valor:

011010100 : 0*32 + 1*16 + 1*8 + 0*4 + 1*2 + 0*1 + 1*0.5 + 0*0.025 + 0*0.125 = 26.5

A questão dessa notação é que uma vez escolhido onde o ponto vai estar localizado (projeto de hardware) não da para mudar depois, se o número a ser armazenado é apenas fração, perdemos muitos bits sem uso com a parte inteira, o que faz possuirmos menor resolução.

A solução para isso é a notação de ponto flutuante - IEEE 754 vocês vão ver isso na disciplina de Sistemas Hardware Software do 5s).

Ponto flutuante

Ponto flutuante é uma outra notação na qual é possível representar números racionais digitalmente (binário), nessa técnica a vírgula não é fixa, e a notação pode se adequar para armazenar números muito trandes ou muito pequenos. No entanto, existe um custo computacional mais elevado envolvido nisso.

Processadores modernos possuem um hardware (ULA) dedicada a realizar operações em ponto flutuante, normalmente usando o padrão IEEE 754.