Dados Digitais

Sistemas numéricos é a maneira como os seres humanos representam números, ao decorrer da história as civilizações assumiam maneiras diferentes de representar números, muitas vezes possuindo diferentes maneiras de codificar oralmente/escrito.

O sistema decimal é o mais utilizado pelas civilizações modernas, nele utilizamos 10 símbolos: 0, 1 ... 9 para representar qualquer número, essa notação remonta do fato de possuirmos 10 dedos em nossas mãos. Nesse sistema, cada digito possui um peso da ordem \(10^n\):

Base 2

No sistema de base 2 possuímos apenas duas opções de símbolo: 0 e 1. Nessa base, cada posição possui um peso da ordem \(2^n\):

Dessa maneira podemos construir o valor que desejarmos de decimal (\(m\)) em binário, para isso será necessário ocupar \(ceil(log2(m))\) bits para armazenar o valor. A tabela a seguir ilustra algumas situações:

ceil: arredondar para cima

Supondo que possuímos um binário de três dígitos, um contador de 0 a 7 em decimal seria em binário: 000 -> 001 -> 010 -> 011 -> 100 -> 101 -> 110 -> 111 ... . O número 45 em binário é 0b101101:

hex      bin      dec
0x100 != 0b100 != 100

 8+4+2+1 = 15
 1 1 1 1

Definições

Em muitas linguagens de programação é necessário definirmos o tamanho da variável que iremos armazenar um dado, para facilitar o entendimento damos nome a quantidade de bits que ela irá ocupar:

1. 4 bits: nibble
2. 8 bits: byte
3. 16 bits: halfword
4. 32 bits: word

Conversão Decimal <-> Binário

Existem diversas técnicas de conversão binário decimal, a seguir detalhes de como realizar essas conversões, o segredo é entender os pesos de cada casa de um bit no sistema binário e então fazer a conta inversa.

Base 16

A base 16, ou hexadecimal, é outra maneira de representarmos números utilizando não só 2 ou 10 símbolos como acabamos de ver, mas 16 símbolos! É como se conseguimos representar o valor 10 com um único carácter, no caso iremos utilizar o A.

Nessa base, cada unidade possui um peso na forma \(2^{16}\):

Um contador no formato hexadecimal possui a seguinte forma:

Base 16 ↔ Base 2

A conversão de número na base 16 para a base 2 e vice-versa acontece de forma trivial. Da base 2 para a base 16 basta separar os bits da palavra em unidades de 4 casas e então realizar a conversão de cada grupo de 4 bits para o seu equivalente em Hexa. Para a conversão de hexa para binário, basta converter cada símbolo de hexa para o seu equivalente em binário (4 dígitos), seguindo a tabela anterior.

Exemplos:

a) 0xA01 para binário:

  A   0    1
  |    \    \
  |     \    \
 1010   0000  0001

 -> 0b1010_0000_0001

b) 0b1111_0101_1000 para hexa:

 1111 0101 1000
  |    |    |
  |    |    |
  F    5    8

  -> 0xF58

Base 16 ↔ Base 10

Para converter de Hexa para Decimal basta aplicar os pesos em cada um das unidades, como demonstrado a seguir:

a) 0xA01 para decimal:

    A       0       1
    |       |       |
    |       |       |
A.16^2  0.16^1   1.16^0

-> 10.256 + 0.16 + 1.1 = 2561

Para alterar a base de Decimal para Hexa, uma das soluções mais triviais é a de converter primeiro para binário e então agrupar os bits de 4 em 4 e converter para hexa:

   Decimal -> Binário -> Hexa

b) 42 -> 0x ???

     32 +  8 +  2 = 42
      \   |   /     ---------------
       \  |  /      |             |
        \ | /       |             v
42 -> 0b101010 -> 0010 1010 -> 0x2A
                        |        ^
                        |        |
                        ----------
                ----|----
                    |
                Blocos de 4 bits

Base 8

Similar as outras bases de número, o sistema octal é composto por 8 símbolos: 0 .. 7, e nele cada posição possui valor na forma de: \(8^n\). Veja o exemplo a seguir:

a) 137 em octal para decimal: \(1.8^2 + 3.8^1 + 7.8^0=95\)

2	1	0	posição
8^2	8^1	8^0	peso
64	8	1	peso
1	3	7	valor octal
1*64	3*8	7*1	\(64+24+7=95\)

Para representarmos um valor octal em binário, é necessário reservarmos 3 bits para cada símbolo do número octal, a conversão é feita como no sistema hexadecimal, porém aqui separando blocos de 3 bits:

b) 137 para binário:

001 011 111

O sistema octal é utilizado no Linux para permissões de arquivos onde são necessários 3 bits para controlar se um usuário possui: acesso de leitura, escrita e/ou execução de um determinado arquivo:

Para modificar a permissão de um arquivo no linux é necessário fornecer a informação para três grupos diferentes: usuário, grupos na qual o usuário faz parte e qualquer outro user. Para isso basta escrever no terminal:

         / user
        /
$chmod 754 FILE
        | \
        |  \ others
        group

Isso da permissão de:

• user: read/write/execute
• group: read/execute
• others: read

Outros sistemas

Existem inúmeras maneiras de codificação de números e/ou caracteres diversos, as mais utilizadas são:

• BCD
• ASCII
• UTF-8

BCD

No sistema Binary-coded decimal (BCD) cada unidade de um sistema decimal é convertido para 4 bits, muito parecido com a conversão para Hexadecimal. Ele é muito utilizado em relógios e quando há a necessidade de exibição do valor em decimal em binário (Display de 7 segmentos).

• Exemplo, 356 em BCD:

     3    5    6    : Decimal
    0011 0101 0110  : BCD

ASCII

ASCII (do inglês American Standard Code for Information Interchange; "Código Padrão Americano para o Intercâmbio de Informação") é uma maneira de codificar em binário (8 bits) 95 sinais gráficos (letras, símbolos e números) e alguns sinais de controle. É muito utilizada pelos programas para armazenarem 'caracteres' e 'strings'.

Fonte: www.asciitable.com

Por exemplo, a palavra Insper convertido para ASCII fica da seguinte maneira (em decimal):