06 - Teorema de Bayes

06 - Teorema de Bayes#

Objetivo da aula: ao fim desta aula, o aluno será capaz de usar o Teorema de Bayes para calcular probabilidades condicionais.

Texto introdutório#

Veja este material em vídeo.

Se quiser, leia este artigo sobre o Teorema de Bayes.

Quando temos probabilidades condicionais, já vimos que:

\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]

Em várias situações, temos acesso direto (isto é, podemos medir) $P(A|B)$, mas na verdade estamos interessados em $P(B|A)$, ou vice-versa. Por exemplo:

Em um exame para detectar uma doença, precisamos saber a probabilidade de ter a doença dado o resultado do exame, mas só sabemos, em laboratório, a chance de um falso positivo, isto é, de o exame retornar positivo sob a hipótese de que o paciente tem a doença,
Em um sistema de segurança, precisamos saber a probabilidade de estar havendo um ataque dado o diagnóstico dos equipamentos, mas só conseguimos saber como os equipamentos se comportam se um ataque está acontecendo,
Em um chatbot, precisamos saber a probabilidade de o usuário ter a intenção de fazer a uma determinada ação dadas as palavras usadas, mas só podemos medir a probabilidade de usar as palavras dadas intenções que conhecemos.

Nessas situações, precisamos usar o Teorema de Bayes. Ele funciona da seguinte forma:

Multiplincando os dois lados da equação por $P(B)$: $$ \begin{align*} P(A|B) &= \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\\ P(A|B) P(B) &= P(A \cap B) \end{align*} $$

Podemos fazer o mesmo com $P(B|A)$:

\[\begin{split} \begin{align*} P(B|A) &= \frac{P(B \cap A)}{P(A)}\\ P(B|A) P(A) &= P(B \cap A) \end{align*} \end{split}\]

Como $P(A \cap B) = P(B \cap A)$, então:

\[ P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A) \]

(este é o Teorema de Bayes!)

E, assim, podemos “inverter” as condições da probabilidade condicional.

Exercício 1#

Objetivo: usar o Teorema de Bayes para calcular uma probabilidade

Em um restaurante, sabemos que:

10% dos clientes pedem hamburguer
50% dos clientes pedem suco
Dentre os clientes que pedem suco, 50% pedem hamburguer.

Sabendo que um cliente pediu hamburguer, qual é a probabilidade dele ter pedido suco?

Exercício 2#

Objetivo: verificar o Teorema de Bayes em uma base de dados real e conectar a notação matemática a sua contrapartida computacional

Em uma base de dados, pode ser possível calcular tanto $P(A|B)$ quanto $P(B|A)$ usando somente os dados que temos.

Usando a base de dados de clientes do iFood, calcule $P(\text{solteiro}| \text{PhD})$, isto é, a probabilidade de um cliente ser solteiro dado que sabemos que ele tem um PhD, por dois métodos:

Diretamente, usando filtros, e
Indiretamente, através de usar $P(\text{solteiro})$, $P(\text{PhD})$, $P(\text{PhD}| \text{solteiro})$ e o Teorema de Bayes.

import pandas as pd
df = pd.read_csv('dados/iFood/ml_project1_data.csv')
df.head()

	ID	Year_Birth	Education	Marital_Status	Income	Kidhome	Teenhome	Dt_Customer	Recency	MntWines	...	NumWebVisitsMonth	Z_CostContact	Z_Revenue	Response
0	5524	1957	Graduation	Single	58138.0	0	0	2012-09-04	58	635	...	7	3	11	1
1	2174	1954	Graduation	Single	46344.0	1	1	2014-03-08	38	11	...	5	3	11	0
2	4141	1965	Graduation	Together	71613.0	0	0	2013-08-21	26	426	...	4	3	11	0
3	6182	1984	Graduation	Together	26646.0	1	0	2014-02-10	26	11	...	6	3	11	0
4	5324	1981	PhD	Married	58293.0	1	0	2014-01-19	94	173	...	5	3	11	0

5 rows × 29 columns

Exercício 3#

Objetivo: aplicar o Teorema de Bayes em uma situação de medida laboratorial

Ao testar um sistema de visão computacional para acesso de segurança, foram encontrados os seguintes números:

A probabilidade do sistema aceitar como segura uma imagem que, de fato, é de um usuário autorizado ($P(+ | s)$) é de $0.90$,
A probabilidade do sistema aceitar erroneamente uma imagem que não é de um usuário autorizado ($P(+ | \bar{s})$) é de $0.01$.
Tipicamente, 70% das tentativas de acesso são legítimas, isto é, $P(s)=0.7$.

Se o sistema apontou que um acesso é legítimo, qual é a probabilidade de que ele seja de fato legítimo, isto é, calcule $P(s | +)$.

Para este exercício, veja este vídeo, e depois este outro.

Exercício 4#

Objetivo: usar o Teorema de Bayes para fazer um processo de classificação

O rock é um estilo musical marcado por guitarras distorcidas. Poderíamos estimar que 90% das músicas de rock têm guitarras distorcidas. Porém, as guitarras distorcidas também aparecem no axé: 20% das músicas de axé têm guitarras distorcidas. Ao todo, as guitarras distorcidas aparecem em 70% do conjunto total de músicas de rock e axé.

Durante o carnaval, 90% das músicas que tocam no rádio são axé, e somente 10% são de rock. Se uma música tem guitarras distorcidas, qual é a probabilidade de se tratar de rock? Qual é a probabilidade de se tratar de axé? Qual é a escolha mais provavelmente correta?
Em uma viagem a Seattle, 70% das músicas que tocam na rádio são rock, ao passo que 30% são axé (desde a grande invasão tropical). Se ouço uma música com guitarras distorcidas, qual é a probabilidade de se tratar de rock? Qual é a probabilidade de se tratar de axé? Qual é a escolha mais provavelmente correta?