05 - Probabilidades, probabilidades conjuntas e probabilidades condicionais#

Objetivo da aula: ao fim desta aula, o aluno será capaz de calcular probabilidades conjuntas e condicionais, e usar o conceito de independência, para estimar o comportamento de populações.

Texto introdutório#

Quando falamos de um experimento aleatório que pode gerar um resultado \(A\), dizemos que o resultado \(A\) tem uma probabilidade \(P(A)\). Por exemplo, no caso da moeda, temos \(P(\text{cara})\) e \(P(\text{coroa})\). De forma geral, a probabilidade é calculada como:

\[ P(A) = \frac{\text{\# eventos favoráveis}}{\text{\# eventos possíveis}} \]

Podemos representar graficamente essa probabilidade usando um diagrama de Venn, como em:

Nessa figura, vemos alguns elementos importantes:

  • A borda externa representa o conjunto-universo, que contém todos os possíveis resultados do experimento. Metaforicamente, realizar o experimento é como escolher um ponto aleatório dentro desses limites.

  • O círculo azulado tem área \(P(A)\) e representa o resultado \(A\). Isso significa que, se o ponto escolhido metaforicamente estiver dentro do círculo azul, então temos o resultado \(A\). Os “números de eventos” são proporcionais a esta área.

  • Por consequência, a região externa ao círculo representa o resultado não-A, ou \(\bar{A}\).

Dois eventos?#

Quando temos dois tipos de resultados diferentes acontecendo, temos uma outra situação:

Nesse caso, temos a região para os resultados \(A\), a região para os resultados \(B\), e uma região chamada “A intersecção B”, ou \(A \cap B\). Nessa região, os eventos \(A\) e \(B\) acontecem simultaneamente, isto é, o experimento é realizado gerando \(A\) e \(B\). Há duas ideias importantes para \(P(A \cap B)\):

  1. Se os eventos são mutuamente excludentes (por exemplo, A significa “cara” e B significa “coroa”), então \(P(A \cap B) = 0\);

  2. Se os eventos são independentes (por exemplo, A significa “cara na primeira jogada” e B significa “cara na segunda jogada”) então \(P(A \cap B) = P(A) P(B)\)

Também podemos calcular a probabilidade do evento “A união B”, ou \(A \cup B\). Esse é o evento “ocorrer A ou ocorrer B”. Veja que, somando \(P(A)+P(B)\), temos a probabilidade da união, exceto pelo fato de termos “contado” a intersecção duas vezes. Então, podemos calcular: \(P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B)\).

Exercício 1#

Objetivo: usar o conceito de independência para determinar probabilidades

Cada cliente que entra em uma loja tem uma probabilidade de \(0.2\) de realizar uma compra. Se entram dois clientes na loja:

  1. Qual é a probabilidade de ambos realizarem compras?

  2. Qual é a probabilidade de nenhum deles realizarem compras?

  3. Qual é a probabilidade de pelo menos um deles realizar uma compra?

# Resolva seu exercício aqui

Exercício 2#

Objetivo: verificar independência em duas séries de jogadas

O código abaixo gera jogadas fictícias de duas moedas. Verifique se a equação \(P(A \cap B) = P(A) P(B)\) se adequa a explicar este fenômeno. As jogadas podem ser consideradas independentes?

import numpy as np

a = (np.random.random(50) > 0.5).astype(int)
b = (np.random.random(50) > 0.5).astype(int)

print(a)

[1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0
 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0]

Exercício 3: probabilidade marginal#

Objetivo: calcular probabilidades marginais à partir de probabilidades conjuntas

Algumas vezes, conhecemos a probabilidade de eventos conjuntos. Por exemplo, se estamos arremessando dados independentemente, cada par de resultados pode aparecer com uma probabilidade igual a \(1/6^2 = 1/36\), isto é:

Dado 1

1

2

3

4

5

6

Dado 2

-

-

-

-

-

-

1

\(1/36\)

\(1/36\)

\(1/36\)

\(1/36\)

\(1/36\)

\(1/36\)

2

\(1/36\)

\(1/36\)

\(1/36\)

\(1/36\)

\(1/36\)

\(1/36\)

3

\(1/36\)

\(1/36\)

\(1/36\)

\(1/36\)

\(1/36\)

\(1/36\)

4

\(1/36\)

\(1/36\)

\(1/36\)

\(1/36\)

\(1/36\)

\(1/36\)

5

\(1/36\)

\(1/36\)

\(1/36\)

\(1/36\)

\(1/36\)

\(1/36\)

6

\(1/36\)

\(1/36\)

\(1/36\)

\(1/36\)

\(1/36\)

\(1/36\)

Se conhecemos somente esta tabela, como poderíamos estimar a probabilidade do dado 1 dar resultado 6 (\(P(d_1=6)\))? A maneira direta é:

  1. Somar todas as probabilidades da tabela (isso deve dar 1, já que a tabela representa todo o universo de jogadas)

  2. Somar todas as probabilidades relacionadas a eventos favoráveis (\(6 \times 1/36 = 1/6\))

  3. Dividir a probabilidade relacionada a eventos favoráveis pela probabilidade total de eventos da tabela.

Esse resultado fica especialmente relevante quando não temos tabelas com probabilidades, e sim com contagens.

Num restaurante fictício, clientes pedem uma bebida e uma comida. No último fim de semana, seguintes pedidos foram registrados:

Comida

hamburguer

salada

Bebida

-

-

água

50

250

refrigerante

170

20

suco

350

350

  1. Se sorteamos um pedido aleatório entre esses, qual é a probabilidade de encontrarmos um pedido de salada e refrigerante?

  2. Se sortearmos um pedido aleatório entre esses, qual é a probabilidade dele ter água ou suco?

  3. Se sortearmos um pedido aleatório entre esses, qual é a probabilidade dele ter pelo menos um entre água e salada?

  4. Se sortearmos um pedido aleatório entre esses, qual é a probabilidade de encontrarmos um pedido com hamburguer?

  5. Se sortearmos um pedido aleatório entre esses, qual é a probabilidade de encontrarmos um pedido com suco?

  6. Se sortearmos um pedido aleatório entre os que foram pedidos com suco, qual é a probabilidade de encontrarmos um pedido que tenha hamburguer?

Exercício 4:#

Objetivo: usar o conceito de probabilidades condicionais

No nosso diagrama de Venn, tínhamos:

Nessa situação, temos uma outra possibilidade de unir os dois eventos: se sabemos que um deles ocorre, qual é a probabilidade do outro? Ou ainda: qual é a probabilidade de A dado que sabemos que B ocorre?

Nesse caso, escrevemos:

\[ P(A|B), \]

que é lido: a probabilidade de A dado B.

Podemos continuar nossa ideia de probabilidade usando \(P(A) = \frac{\text{\# eventos favoráveis}}{\text{\# eventos possíveis}}\). Porém, desta vez:

  • Os eventos possíveis não são todo o conjunto “universo”, e sim somente aqueles em que \(B\) ocorre (ou seja: \(P(B)\)).

  • Os eventos favoráveis não são todo o conjunto em que \(A\) ocorre, e sim somente em que \(A\) e \(B\) ocorrem simultaneamente (pois sabemos que \(B\) ocorre), isto é, \(P(A \cap B)\).

Então:

\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]

Enunciado do exercício#

Retomando os pedidos do restaurante, calcule:

  • \(P(\text{suco})\)

  • \(P(\text{hamburguer} \cap \text{suco})\)

  • Diretamente dos dados, e depois através da equação: \(P(\text{hamburguer} | \text{suco} )\)

Exercício 5#

Objetivo: usar os conceitos de probabilidade conjunta, condicional e marginal

Num restaurante, os clientes sempre pedem uma comida (hamburguer ou salada) uma bebida (suco ou refrigerante). 70% dos clientes que pedem suco comem salada. Dos que pedem refrigerante, 30% comem salada. Sabemos ainda que 80% dos clientes pedem suco.

  1. Qual é a probabilidade de um cliente pedir salada?

  2. Sabendo que um cliente pediu salada, qual é a probabilidade de ele ter pedido suco?

  3. É correto afirmar que os clientes que pedem refrigerante neste restaurante são mais inclinados a pedir hamburguer que salada?